三種快速排序以及快速排序的優(yōu)化

1、快速排序的基本思想：

   快速排序使用分治的思想，通過一趟排序?qū)⒋判蛄蟹指畛蓛刹糠?，其中一部分記錄的關(guān)鍵字均比另一部分記錄的關(guān)鍵字小。之后分別對這兩部分記錄繼續(xù)進(jìn)行排序，遞歸地以達(dá)到整個序列有序的目的。

2、快速排序的三個步驟：

(1)選擇基準(zhǔn)：在待排序列中，按照某種方式挑出一個元素，作為 "基準(zhǔn)"（pivot）

(2)分割操作：以該基準(zhǔn)在序列中的實(shí)際位置，把序列分成兩個子序列。此時，在基準(zhǔn)左邊的元素都比該基準(zhǔn)小，在基準(zhǔn)右邊的元素都比基準(zhǔn)大

(3)遞歸地對兩個序列進(jìn)行快速排序，直到序列為空或者只有一個元素。

3、選擇基準(zhǔn)的方式

對于分治算法，當(dāng)每次劃分時，算法若都能分成兩個等長的子序列時，那么分治算法效率會達(dá)到最大。也就是說，基準(zhǔn)的選擇是很重要的。選擇基準(zhǔn)的方式?jīng)Q定了兩個分割后兩個子序列的長度，進(jìn)而對整個算法的效率產(chǎn)生決定性影響。

最理想的方法是，選擇的基準(zhǔn)恰好能把待排序序列分成兩個等長的子序列

我們介紹三種選擇基準(zhǔn)的方法

方法(1)：固定位置(書本上介紹的內(nèi)容)

思想：取序列的第一個或最后一個元素作為基準(zhǔn)

基本的快速排序

int SelectPivot(int arr[],int low,int high){	return arr[low];//選擇選取序列的第一個元素作為基準(zhǔn)}

注意：基本的快速排序選取第一個或最后一個元素作為基準(zhǔn)。但不是一種好方法

測試數(shù)據(jù)：

測試數(shù)據(jù)分析：如果輸入序列是隨機(jī)的，處理時間可以接受的。如果數(shù)組已經(jīng)有序時，此時的分割就是一個非常不好的分割。因為每次劃分只能使待排序序列減一，此時為最壞情況，快速排序淪為起泡排序，時間復(fù)雜度為Θ(n^2)。而且，輸入的數(shù)據(jù)是有序或部分有序的情況是相當(dāng)常見的。因此，使用第一個元素作為樞紐元是非常糟糕的，為了避免這個情況，就引入了下面兩個獲取基準(zhǔn)的方法。

方法(2)：隨機(jī)選取基準(zhǔn)(不重要)

引入的原因：在待排序列是部分有序時，固定選取樞軸使快排效率底下，要緩解這種情況，就引入了隨機(jī)選取樞軸

思想：取待排序列中任意一個元素作為基準(zhǔn)

/*隨機(jī)選擇樞軸的位置，區(qū)間在low和high之間*/int SelectPivotRandom(int arr[],int low,int high){	srand((unsigned)time(NULL));//產(chǎn)生樞軸的位置	int pivotPos = rand()%(high - low) + low;	swap(arr[pivotPos],arr[low]);//把樞軸位置的元素和low位置元素互換，此時可以和普通的快排一樣調(diào)用劃分函數(shù)	return arr[low];}

方法(3)：三數(shù)取中（median-of-three）(優(yōu)化有序的數(shù)據(jù))

引入的原因：雖然隨機(jī)選取樞軸時，減少出現(xiàn)不好分割的幾率，但是還是最壞情況下還是O(n^2），要緩解這種情況，就引入了三數(shù)取中選取樞軸

分析：最佳的劃分是將待排序的序列分成等長的子序列，最佳的狀態(tài)我們可以使用序列的中間的值，也就是第N/2個數(shù)?？墒牵@很難算出來，并且會明顯減慢快速排序的速度。這樣的中值的估計可以通過隨機(jī)選取三個元素并用它們的中值作為樞紐元而得到。事實(shí)上，隨機(jī)性并沒有多大的幫助，因此一般的做法是使用左端、右端和中心位置上的三個元素的中值作為樞紐元。顯然使用三數(shù)中值分割法消除了預(yù)排序輸入的不好情形，并且減少快排大約14%的比較次數(shù)

舉例：待排序序列為：8 1 4 9 6 3 5 2 7 0

左邊為：8，右邊為0，中間為6.

我們這里取三個數(shù)排序后，中間那個數(shù)作為樞軸，則樞軸為6

注意：在選取中軸值時，可以從由左中右三個中選取擴(kuò)大到五個元素中或者更多元素中選取，一般的，會有（2t＋1）平均分區(qū)法（median-of-(2t+1)，三平均分區(qū)法英文為median-of-three）。

具體思想：對待排序序列中l(wèi)ow、mid、high三個位置上數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，取他們中間的那個數(shù)據(jù)作為樞軸，并用0下標(biāo)元素存儲樞軸。

/*函數(shù)作用：取待排序序列中l(wèi)ow、mid、high三個位置上數(shù)據(jù)，選取他們中間的那個數(shù)據(jù)作為樞軸*/
int SelectPivotMedianOfThree(int arr[],int low,int high)
{
	int mid = low + ((high - low) >> 1);//計算數(shù)組中間的元素的下標(biāo)
	//使用三數(shù)取中法選擇樞軸
 
	if (arr[mid] > arr[high])//目標(biāo): arr[mid] <= arr[high]
	{
		swap(arr[mid],arr[high]);
	}
 
	if (arr[low] > arr[high])//目標(biāo): arr[low] <= arr[high]
	{
		swap(arr[low],arr[high]);
	}
 
	if (arr[mid] > arr[low]) //目標(biāo): arr[low] >= arr[mid]
	{
		swap(arr[mid],arr[low]);
	}
 
	//此時，arr[mid] <= arr[low] <= arr[high]
	return arr[low];
	//low的位置上保存這三個位置中間的值
	//分割時可以直接使用low位置的元素作為樞軸，而不用改變分割函數(shù)了
}

測試數(shù)據(jù)分析：使用三數(shù)取中選擇樞軸優(yōu)勢還是很明顯的，但是還是處理不了重復(fù)數(shù)組

優(yōu)化1、采用三數(shù)取中法原則樞紐。

優(yōu)化2、當(dāng)待排序序列的長度分割到一定大小后，使用插入排序。

原因：對于很小和部分有序的數(shù)組，快排不如插排好。當(dāng)待排序序列的長度分割到一定大小后，繼續(xù)分割的效率比插入排序要差，此時可以使用插排而不是快排

截止范圍：待排序序列長度N = 10，雖然在5~20之間任一截止范圍都有可能產(chǎn)生類似的結(jié)果，這種做法也避免了一些有害的退化情形。摘自《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法分析》Mark Allen Weiness 著

if (high - low + 1 < 10)
{
	InsertSort(arr,low,high);
	return;
}//else時，正常執(zhí)行快排

測試數(shù)據(jù)：

測試數(shù)據(jù)分析：針對隨機(jī)數(shù)組，使用三數(shù)取中選擇樞軸+插排，效率還是可以提高一點(diǎn)，但是針對已排序的數(shù)組，是沒有任何用處的。因為待排序序列是已經(jīng)有序的，那么每次劃分只能使待排序序列減一。此時，插排是發(fā)揮不了作用的。所以這里看不到時間的減少。另外，三數(shù)取中選擇樞軸+插排還是不能處理重復(fù)數(shù)組

優(yōu)化3、在一次分割結(jié)束后，可以把與Key相等的元素聚在一起，繼續(xù)下次分割時，不用再對與key相等元素分割

舉例：

待排序序列 1 4 6 7 6 6 7 6 8 6

三數(shù)取中選取樞軸：下標(biāo)為4的數(shù)6

轉(zhuǎn)換后，待分割序列：6 4 6 7 1 6 7 6 8 6

             樞軸key：6

本次劃分后，未對與key元素相等處理的結(jié)果：1 4 6 6 7 6 7 6 8 6

下次的兩個子序列為：1 4 6 和 7 6 7 6 8 6

本次劃分后，對與key元素相等處理的結(jié)果：1 4 6 6 6 6 6 7 8 7

下次的兩個子序列為：1 4 和 7 8 7

經(jīng)過對比，我們可以看出，在一次劃分后，把與key相等的元素聚在一起，能減少迭代次數(shù)，效率會提高不少

具體過程：在處理過程中，會有兩個步驟

第一步，在劃分過程中，把與key相等元素放入數(shù)組的兩端

第二步，劃分結(jié)束后，把與key相等的元素移到樞軸周圍

舉例：

待排序序列 1 4 6 7 6 6 7 6 8 6

三數(shù)取中選取樞軸：下標(biāo)為4的數(shù)6

轉(zhuǎn)換后，待分割序列：6 4 6 7 1 6 7 6 8 6

             樞軸key：6

第一步，在劃分過程中，把與key相等元素放入數(shù)組的兩端 

結(jié)果為：6 4 1 6(樞軸) 7 8 7 6 6 6

此時，與6相等的元素全放入在兩端了

第二步，劃分結(jié)束后，把與key相等的元素移到樞軸周圍

結(jié)果為：1 4 66(樞軸)  6 6 6 7 8 7

此時，與6相等的元素全移到樞軸周圍了

之后，在1 4 和 7 8 7兩個子序列進(jìn)行快排

void gather(int arr[], int low, int high, int boundKey, int *left, int *right)
{
	if (low < high)
	{
		int count = boundKey - 1;
		for (int i = boundKey - 1; i >= low; --i)
		{
			if (arr[i] == arr[boundKey])
			{
				swap(arr, i, count);
				count--;
			}
		}
		*left = count;
		count = boundKey + 1;
		for (int i = boundKey + 1; i <= high; ++i)
		{
			if (arr[i] == arr[boundKey])
			{
				swap(arr, i, count);
				count++;
			}
		}
		*right = count;
	}
}

測試數(shù)據(jù)：

測試數(shù)據(jù)分析：三數(shù)取中選擇樞軸+插排+聚集相等元素的組合，效果竟然好的出奇。

原因：在數(shù)組中，如果有相等的元素，那么就可以減少不少冗余的劃分。這點(diǎn)在重復(fù)數(shù)組中體現(xiàn)特別明顯啊。

其實(shí)這里，插排的作用還是不怎么大的。

優(yōu)化4：優(yōu)化遞歸操作（不重要）

快排函數(shù)在函數(shù)尾部有兩次遞歸操作，我們可以對其使用尾遞歸優(yōu)化

優(yōu)點(diǎn)：如果待排序的序列劃分極端不平衡，遞歸的深度將趨近于n，而棧的大小是很有限的，每次遞歸調(diào)用都會耗費(fèi)一定的?？臻g，函數(shù)的參數(shù)越多，每次遞歸耗費(fèi)的空間也越多。優(yōu)化后，可以縮減堆棧深度，由原來的O(n)縮減為O(logn)，將會提高性能。

void QSort(int arr[],int low,int high)
{ 
	int pivotPos = -1;
	if (high - low + 1 < 10)
	{
		InsertSort(arr,low,high);
		return;
	}
	while(low < high)
	{
		pivotPos = Partition(arr,low,high);
		QSort(arr,low,pivot-1);
		low = pivot + 1;
	}
}

注意：在第一次遞歸后，low就沒用了，此時第二次遞歸可以使用循環(huán)代替

測試數(shù)據(jù)：

測試數(shù)據(jù)分析：其實(shí)這種優(yōu)化編譯器會自己優(yōu)化，相比不使用優(yōu)化的方法，時間幾乎沒有減少

優(yōu)化5：使用并行或多線程處理子序列（略）

所有的數(shù)據(jù)測試：

概括：這里效率最好的快排組合 是：三數(shù)取中+插排+聚集相等元素,它和STL中的Sort函數(shù)效率差不多

注意：由于測試數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，數(shù)據(jù)也僅僅反應(yīng)大概的情況。如果時間上沒有成倍的增加或減少，僅僅有小額變化的話，我們可以看成時間差不多?！就暾目炫艃?yōu)化后代碼要的可以私我哦~】

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